[R] 푸아송분포(poisson distribution)의 정의, 함수, 예제, 그래프

[R] 푸아송분포(poisson distribution)의 정의, 함수, 예제, 그래프

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#1. 푸아송분포의 정의

푸아송분포는 이항분포의 특수한 경우입니다. 이항분포에서 시행횟수가 무수히 많아지고, 발생확률은 아주 작은 경우입니다. 따라서 시행횟수와, 발생확률을 정의할 수가 없습니다. 시행횟수는 무한대로 발산하고, 발생확률은 0으로 수렴하기 때문입니다. 대신 이항분포의 평균인 np를 이용합니다. 푸아송분포에서는 λ 라고 부릅니다. 어떤 단위시간동안 사건이 발생한 평균횟수를 λ로 놓습니다. 단위시간동안 사건이 발생한 평균횟수가 λ 일 때, 단위시간동안 이 사건이 발생핫 횟수 x의 확률 p(x)의 분포가 푸아송분포입니다. 

#2. 푸아송분포와 관련된 함수

dpois : 확률밀도함수(probability density function)

ppois : 누적분포함수(cumulative distribution function)

qpois : 누적분포함수의 역함수(inverse cumulative distribution function)

rpois : 임의추출

#3. 사용 방법

누적분포함수의 경우 왼쪽꼬리가 디폴트입니다. 

dpois(x, lambda, log = FALSE)

ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

rpois(n, lambda)

입력변수를 쉽게 설명하면 아래와 같습니다. 

dpois(사건발생횟수, 사건발생횟수평균, log = FALSE)

ppois(사건발생횟수, 사건발생횟수평균, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

qpois(누적확률, 사건발생횟수평균, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

rpois(표본크기, 사건발생횟수평균)

#4. 예제

1) dpois

단위시간동안 사건발생횟수 평균이 5회일 때, 단위시간동안 이 사건이 3번 발생할 확률을 구해봅시다. 

> dpois(3,5)

[1] 0.1403739

2) ppois

단위시간동안 사건발생횟수 평균이 5회일 때, 단위시간동안 이 사건이 3번 발생하기까지 누적확률을 구해봅시다.  

> ppois(3,5)

[1] 0.2650259

> dpois(0,5)+dpois(1,5)+dpois(2,5)+dpois(3,5)

[1] 0.2650259

3) qpois

단위시간동안 사건발생횟수 평균이 5회일 때, 누적확률이 0.5가 될 때가지의 발생횟수입니다. 이산확률 분포이기 때문에 누적확률이 0.5 이상인 x중 최소값을 반환합니다. 

> qpois(0.5,5)

[1] 5

4) rpois

단위시간동안 사건발생횟수 평균이 5회인 푸아송분포에서 크기가 5인 표본을 임의로 추출합니다. 

> rpois(5,5)

[1] 7 2 7 4 5

#5. 그래프

1) 확률질량함수

par(mar=c(5.1, 4.1, 4.1, 8.5),xpd=TRUE)

plot(0,type="n",

     xlim=c(0,100),ylim=c(0,0.5),ann=FALSE)

lambda=c(1,5,10,50)

for (i in 1:length(lambda))

{

  x=0:100

  y=dpois(x,lambda[i])

  points(x,y,type="l",col=rainbow(length(lambda))[i])

}

title(main="PMF of pois",xlab="x",ylab="p(x)",cex.main=2,cex.lab=1.2)

box("outer",col="gray")

legend("topright",inset=c(-0.21,0), legend=paste("lambda=",lambda),col=rainbow(length(lambda)),lty=1)

2) 누적분포함수

par(mar=c(5.1, 4.1, 4.1, 8.5),xpd=TRUE)

plot(0,type="n",

     xlim=c(0,100),ylim=c(0,1),ann=FALSE)

lambda=c(1,5,10,50)

for (i in 1:length(lambda))

{

  x=0:100

  y=ppois(x,lambda[i])

  points(x,y,type="l",col=rainbow(length(lambda))[i])

}

title(main="CMF of pois",xlab="x",ylab="p(x)",cex.main=2,cex.lab=1.2)

box("outer",col="gray")

legend("topright",inset=c(-0.21,0), legend=paste("lambda=",lambda),col=rainbow(length(lambda)),lty=1)