[R] 초기하분포(Hypergeometric Distribution) 함수와 그래프

[R] 초기하분포(poisson distribution)의 정의, 함수, 예제, 그래프

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#1. 초기하분포 정의

크기가 M인 모집단이 있습니다. 이 모집다 안에는 우리가 원하는 원소가 k개 들어 있습니다. 이 모집단에서 크기가 n인 표본을 뽑았습니다. 이 표본 안에 우리가 원하는 원소가 x개 들어있을 확률을 p(x)라고 합시다. p(x)의 분포가 초기하분포입니다. 

위에서 사용한 기호는 일반적으로 사용하는 기호입니다. R에서는 기호사용이 다릅니다. m+n이 모집단의 크기, m이 우리가 원하는 원소의 개수, k가 표본의 크기입니다. 따라서 수식이 아래와 같이 바뀝니다. 

#2. 초기하분포와 관련된 함수

dhyper : 확률밀도함수(probability density function)

phyper : 누적분포함수(cumulative distribution function)

qhyper : 누적분포함수의 역함수(inverse cumulative distribution function)

rhyper : 임의추출

#3. 사용 방법

누적분포함수의 경우 왼쪽꼬리가 디폴트입니다. 

dhyper(x, m, n, k, log = FALSE)

phyper(q, m, n, k, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

qhyper(p, m, n, k, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

rhyper(nn, m, n, k)

입력변수를 쉽게 설명하면 아래와 같습니다. 

m : 모집단 안에 있는 우리가 원하는 원소의 수

n : 모집단 안에 있는 우리가 원하지 않는 원소의 수

k : 표본의 크기

dhyper(사건발생횟수, m, n, k, log = FALSE)

phyper(사건발생횟수, m, n, k, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

qhyper(누적확률, m, n, k, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

rhyper(표본크기, m, n, k)

#4. 예제

1) dhyper

크기가 100인 모집단 안에 우리가 원하는 원소가 10개 들어 있습니다. 이 모집단에서 크기가 20인 표본을 뽑을 때, 우리가 원하는 원소가 3개 들어있을 확률을 구해봅시다. 

> dhyper(3,10,90,20)

[1] 0.2092081

2) phyper

크기가 100인 모집단 안에 우리가 원하는 원소가 10개 들어 있습니다. 이 모집단에서 크기가 20인 표본을 뽑을 때, 우리가 원하는 원소가 0개 들어있을 확률부터 3개 들어있을 확률까지의 누적확률을 구해봅시다. 

> phyper(3,10,90,20)

[1] 0.8904281

> dhyper(0,10,90,20)+dhyper(1,10,90,20)+dhyper(2,10,90,20)+dhyper(3,10,90,20)

[1] 0.8904281

3) qhyper

크기가 100인 모집단 안에 우리가 원하는 원소가 10개 들어 있습니다. 이 모집단에서 크기가 20인 표본을 뽑을 때, 누적확률이 0.5가 될 때가지의 발생횟수입니다. 

> qhyper(0.5,10,90,20)

[1] 2

4) rhyper

모집단의 크기가 100, 모집단 안에 들어있는 원하는 원소의 수가 10, 표본의 크기가 20인 초기하분포에서 임의로 5개의 값을 추출합니다. 

> rhyper(5,10,90,20)

[1] 4 1 3 1 1

#5. 그래프

1) 확률질량함수

par(mar=c(5.1, 4.1, 4.1, 8.5),xpd=TRUE)

par(mfrow=c(2,2))

m=c(10,50,150,300)

n=c()

k=c(10,30,50,90)

for (j in 1:length(k))

{

  plot(0,type="n",

       xlim=c(0,100),ylim=c(0,1),ann=FALSE)

for (i in 1:length(m))

{

  x=0:100

  y=dhyper(x,m[i],500-m[i],k[j])

  points(x,y,type="l",col=rainbow(length(m))[i])

}

title(main=paste0("PMF of hyper,"," k=",k[j],', m+n=500"'),xlab="x",ylab="p(x)",cex.main=2,cex.lab=1.2)

box("outer",col="gray")

legend("topright",inset=c(-0.30,0), legend=paste("m=",m),col=rainbow(length(m)),lty=1)

}

2) 누적분포함수

par(mar=c(5.1, 4.1, 4.1, 8.5),xpd=TRUE)

par(mfrow=c(2,2))

m=c(10,50,150,200)

n=c()

k=c(10,30,50,90)

for (j in 1:length(k))

{

  plot(0,type="n",

       xlim=c(0,100),ylim=c(0,1),ann=FALSE)

  for (i in 1:length(m))

  {

    x=0:100

    y=phyper(x,m[i],500-m[i],k[j])

    points(x,y,type="l",col=rainbow(length(m))[i])

  }

  

  title(main=paste0("CMF of hyper,"," k=",k[j],', m+n=500"'),xlab="x",ylab="p(x)",cex.main=2,cex.lab=1.2)

  box("outer",col="gray")

  legend("topright",inset=c(-0.30,0), legend=paste("m=",m),col=rainbow(length(m)),lty=1)

}